기호 ∀기호 ∃

기호 ∀는 All의 A를 뒤집어 만든 모양으로, '모든 ~에 대해' 이라는 의미를 가집니다. LaTeX에서는 \forall라고 입력하면 이 기호를 얻을 수 있습니다.

 

기호 ∃는 Exist의 E를 뒤집어 만든 모양으로, '어떤 ~가 존재하여' 라는 의미를 가집니다. LaTeX에서 \exists라고 입력하면 이 기호를 얻을 수 있습니다

 

※ 예시

 

1) '∀a,b∈F, a+b∈F'는 무슨 뜻일까요?

'F의 모든 원소 a,b에 대하여, a+b 역시 F의 원소이다.'라는 의미입니다.

 

2) '∃0∈F, ∀a∈F, a+0=a'는 무슨 뜻일까요?

'F에 0이라고 하는 원소가 존재하여, F의 모든 원소 a에 대해, a+0=a가 만족된다.'는 의미입니다.

 

3) '∀a∈F-{0}, ∃1/a∈F, a×(1/a)=1'는 무슨 뜻일까요?

'F의 원소 중 0이 아닌 모든 a에 대해, F에 1/a라고 하는 원소가 존재하여, a×(1/a)=1가 만족된다.'는 의미입니다.

 

이처럼 논리식은 차근차근 순서대로 읽어나가면 그 의미를 알 수 있습니다. 

 

 

 

★ 주의: 논리식을 쓸 때, ∀와 ∃의 순서를 마음대로 바꾸지 마세요.

 

예를 들어, 다음의 두 논리식은 의미가 다릅니다.

 

∀a∈A, ∃b∈B, P(a,b)            ∃b∈B, ∀a∈A, P(a,b)

 

보다 구체적으로, A를 사람의 집합, B를 노래의 집합, P(a,b)는 '사람 a가 노래 b를 부를 수 있다'의 의미를 가진다고 합시다. 그러면, 첫 번째 논리식의 의미는, '모든 사람은 각자 부를 수 있는 노래가 적어도 하나는 있다.'이지만, 두 번째 논리식의 의미는, '어떤 노래 하나는, 누구든지 부를 줄 안다.'라는 의미입니다.

 

이렇게 ∀과 ∃의 순서를 바꾸게 되면 문장의 의미가 크게 변화합니다. 또한, ∀과 ∃의 순서만 다른 두 논리식이 있는 경우, ∃가 앞에 있는 논리식이 더 강합니다. 즉, ∃가 앞에 있는 논리식이 참이라면, ∀가 앞에 있는 논리식도 참이 됩니다.

 

이는 방금 전의 노래 예시에서도 알 수 있습니다. 만약 어떤 노래 하나는 누구든지 부를 줄 안다면, 모든 사람이 각자 부를 수 있는 노래가 적어도 하나는 있다는 사실도 참입니다.

 

수학에서 나오는 예시로써, continuity와 uniform continuity를 들 수 있습니다. continuity와 uniform continuity의 조건을 각각 논리식으로 적어보면, uniform continuity의 논리식이 ∃가 한칸 앞에 있다는 것만 제외하고는 continuity의 논리식과 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 그렇기 때문에 uniform continuity가 참이면, continuity도 자동적으로 참입니다.

 

참고로 ∀과 ∃의 순서를 바꾸는 것에는 주의해야 하지만, ∀와 ∀의 순서를 바꾸거나 ∃와 ∃의 순서를 바꾸는 것은 문장의 의미에 아무런 변화를 주지 않습니다.

출처: https://meiryo.tistory.com/3 [Meiryo]